Question 1

Pour déterminer l'existence éventuelle d'une intersection:
(1) calculer le rayon réfléchi,
(2) utiliser ce rayon pour tester son intersection vis à vis de la sphère,
(3) si cette intersection existe, déterminer sa position.

(1) On utilise la formule où est le vecteur normé inverse à la direction d’incidence de la source lumineuse, est le vecteur normé réfléchi, et est la normale à l’interface orientée dans la matériau d'où se propage le rayon incident.

se calcule en normant le vecteur D-L. est orthogonal au plan du miroir et est obtenu en normant le résultat du produit vectoriel de (D-A) par (D-B) et en ajustant son orientation pour qu'elle soit dirigée dans le demi plan délimité par le miroir et contenant le rayon .

Par ces calculs on obtient = (0.274, 0.961, 0.0) et = (0.447, 0.894, 0.0). Ce qui conduit à = (0.604, 0.796, 0.0).

(2) Le rayon réfléchi est issu de D et a pour direction = (0.604, 0.796, 0.0). Il faut résoudre le système d'équations formé de l'équation paramétrique de la droite définie par le rayon et de l'équation euclidienne de la sphère:

où (a₁, a₂, a₃) est la direction du rayon, cest à dire et (b₁, b₂, b₃) son origine, c'est à dire D.

Tel que présenté ci-dessus, la sphère est centrée sur l'origine. Or dans notre cas, la sphére est centrée sur (12, 6, 0). Un traitement préalable consistera donc à ramener la sphère à l'origine par translation de (-12, -6, 0). Cette opération sera aussi appliquée à l'origine du rayon (D) pour conserver la cohérence des données. Après détermination de l' (des) intersection(s), une translation inverse permettra de trouver la (les) véritable(s) position(s).

On a donc r = 1, a₁= 0.604387,  a₂= 0.796691,  a₃= 0.0, b₁= -10.0,   b₂= -5.0,  b₃= 1.0

Par substitution dans le système, on obtient:

(a₁t + b₁)²+(a₂t + b₂)²+(a₃t + b₃)² = r²

(a₁²+a₂²+a₃²)t² + 2(a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃)t + b₁²+b₂²+b₃² = r²

équation du second degré en t impliquant 0, 1 ou 2 intersections en fonction des conditions initiales.

On pose a = (a₁²+a₂²+a₃²), b = 2(a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃), c = b₁²+b₂²+b₃²-r².

-> a = 1.0, b = -20.054642 et c = 125.0

La valeur du déterminant delta = b²-4ac définit le nombre d'intersections:
- delta < 0 -> pas d'intersection,
- delta = 0 -> une intersection,
- delta > 0 -> deux intersections.

-> delta = -97.081 donc pas d'intersection.

Si delta > 0, on calcul les racines t1 = (-b-sqrt(delta))/(2*a) et t2 = (-b+sqrt(delta))/(2*a). t1 et t2 sont ensuite réutilisées comme paramètres dans l'équation paramétrique de la droite permettant ainsi de trouver les positions des deux intersections après translation par (12,6,0).

Si delta = 0, on calcul la racine t = -b/(2*a). t est ensuite réutilisée comme paramètre dans l'équation paramétrique de la droite permettant ainsi de trouver la position de l'intersection après translation par (12,6,0).

Programme

Question 2

Question 3

Question 4

Remarques, erreurs
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